Über Zahlenarten und -namen

Hier wurde vorgeschlagen, etwas für den Matheplaneten zu schreiben, das dazu beiträgt, das "Sommerloch" ein wenig aufzufüllen. Daran möchte ich mich mit dem Folgenden, einem Spaziergang durch das Reich der Zahlen, beteiligen. Weder wird dabei auch nur angenähert Vollständigkeit angestrebt noch in allen Fällen die dem Fachmann notwendig erscheinende Exaktheit. Ein Überblick soll das Ganze werden und eine Plauderei, vielleicht interessant für Laien, Schüler und beginnende Mathematiker - mehr nicht.

Das Zahlenreich ist, anders die Reiche von Königen und Kaisern, nichts Wirkliches, Greifbares, sondern etwas Erdachtes, Geistiges, auch wenn es dafür ungezählte materielle Anwendungen gibt. Es gehört, wie das Reich der Poesie und der Musik und wie die Mathematik allgemein, zu den großen Kulturgütern der Menschheit. Bis in unsere Tage wird es immer noch erweitert; die Anfänge liegen in grauer Vorzeit.

Begonnen hat es mit den Zahlen, die wir die "natürlichen" nennen und von denen der Mathematiker Leopold Kronecker (1823 bis 1891) behauptete, sie habe "der liebe Gott gemacht". [1]

Die natürlichen Zahlen sind ihrem Wesen nach Anzahlen, d. h., sie geben Auskunft darüber, wieviele gleichartige Gegenstände vorhanden sind. (Gleichartig bedeutet, daß man nicht "Äpfel und Birnen" zusammen betrachtet.) Was wird nicht alles gezählt: Autos, Wählerstimmen, Webseitenaufrufe, Lichtblitze bei Experimenten mit radioaktiven Stoffen, ... Der griechische Mathematiker Archimedes (ca. 287 bis 212 v. Chr.) zählte in Gedanken Sandkörner. D. h. er zählte sie nicht richtig, sondern gab eine Abschätzung ihrer Anzahl, wenn sie eine riesige Kugel ausfüllen, die bis zum "Firmament" reicht. Dieses dachte man sich damals als eine die Erde umschließende, sich drehende Hohlkugel, auf deren Inneren die Sonne, Mond und Sterne befestigt sind. [2]

Die ersten natürlichen Zahlen beschreiben wir mit den Worten eins, zwei, drei, ... , acht, neun und mit den Zeichen 1,2,3,...,9, doch ist das nur eine von vielen Möglichkeiten. Auf sie, und wie es nach der Neun weitergeht, komme ich evtl. in einem späteren Artikel zurück.

Wir wissen, daß vier Sack Getreide mehr sind als drei, und das wird auf die entsprechenden Zahlen übertragen, indem man sagt: vier ist größer als drei, in Zeichen 4>3. Und dies gilt nicht nur für diese beiden, sondern sinngemäß für alle natürlichen Zahlen: jede ist um 1 größer als ihre Vorgängerin. Man sagt, die natürlichen Zahlen lassen sich der Größe nach anordnen. Auf das Problem, daß die 1 keine Vorgängerin hat, will ich hier, um Raum für anderes zu sparen, nicht eingehen.

Die natürlichen Zahlen lassen sich durch aneinander gelegte Stäbe veranschaulichen, die die Länge 1 haben; dies führt in der Abstraktion auf den aus einer geraden Linie mit äquidistanten Markierungen versehenen Zahlenstrahl.

Bestimmte natürliche Zahlen lassen sich auch mit Hilfe von kleinen Steinen bildlich darstellen, zum Beispiel in einem quadratischen Schema oder so:

Sie heißen dann Quadratzahlen bzw. Dreieckszahlen. Vor ein paar Jahren gab es dazu hier [3] eine kleine Aufgabe mit anschließender, anregender Diskussion.

Das Aneinanderreihen von Stäben der Länge 1 entspricht der "Grundrechenart" Addition 1+1+1+ usw., so viele Stäbe es sind. Natürlich kann man auch Stäbe unterschiedlicher Länge a,b,c,... zusammensetzen, und die ihnen entsprechende Addition von Zahlen lautet a+b+c+ usw., so viele es sind. Hat man n gleiche Zahlen, a+a+....+a (n Summanden), schreibt man dafür abkürzend n mal a, n·a, nennt diese Rechenoperation Multiplikation und deren Ergebnis Produkt. (Ergänzung: Addition kommt von lat. addere=hinzufügen, vermehren; multiplicare bedeutet vervielfachen, producere hervorbringen.)

Hiermit kann man Folgendes zum Ausdruck bringen: seien a und b zwei natürliche Zahlen, wobei b kleiner als a ist, dann existiert eine weitere natürliche Zahl n, so daß n·b>a ist. Dies wird die archimedische Eigenschaft der natürlichen Zahlen genannt. Manche sprechen hierbei auch vom "Archimedischen Prinzip", obwohl diese Bezeichnung üblicherweise in der Physik verwendet wird. Archimedes hatte erkannt, daß ein in Wasser eingetauchter Körper um so viel leichter wird, wie die von ihm verdrängte Wassermenge wiegt. Die archimedische Eigenschaft der natürlichen Zahlen läßt sich mit Hilfe von Stäben veranschaulichen. Hat man einen einzelnen Stab der Länge a und kürzere Stäbe der Länge b, so lassen sich diese so lange aneinanderreihen (n-mal), bis ihre Gesamtlänge die Länge a des Einzelstabes übersteigt.

Werden n gleiche Zahlen a miteinander multipliziert, a·a·a·...·a, kürzt man das mit aⁿ ab und nennt diesen aus der Basis a und dem Exponenten n bestehenden Ausdruck Potenz von potentia=Macht. Potenzen mit natürlicher Basis und dem Exponenten 2 sind die oben erwähnten Quadratzahlen. Gilt für drei natürliche Zahlen a,b,c die Gleichung a²+b²=c², heißen a,b,c pythagoräischeZahlen.

Werden statt n gleicher Zahlen n aufeinander folgende natürliche Zahlen, beginnend mit 1, multipliziert: 1·2·3·...·n, wird das mit n! abgekürzt und "n-Fakultät" ausgesprochen. Das lateinische Wort facultas bedeutet auf deutsch die Befähigung, etwas zu tun; merkwürdig, daß es hier, in diesem Zusammenhang, gebraucht wird. Interessanter Weise ist es bei verschiedenen Anwendungen nützlich, auch den Ausdruck 0! in Betracht zu ziehen, und ihm den Wert 1 (nicht 0) zuzuschreiben. (Von der Logik her scheint 0!, d. h., ein Produkt aus 0 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, keinen rechten Sinn zu haben. Es handelt sich um eine praktische Konvention, d. h. allgemein akzeptierte Übereinkunft, die, wie sich zeigt, nirgends schadet.)

Jede natürliche Zahl läßt sich als Produkt aus natürlichen Zahlen darstellen. Beispiel: 56=1·7·8 oder 56=1·2·4·7; 60=1·6·10 oder 60=1·3·4·5. Man erkennt durch weitere Beispiele, daß es bei manchen Zahlen mehrere solcher Produktdarstellungen gibt. Diejenigen natürlichen Zahlen, die sich nur auf eine Weise in zwei Faktoren zerlegen lassen, nämlich die 1 und die Zahl selbst (Bsp.: 17=1·17), heißen Primzahlen. Bereits vor rund 2300 Jahren bewies der griechische Mathematiker Euklid (ca. 360 bis ca. 280 v. Chr.) auf bewundernswerte Art, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Primzahlen wie 3 und 5, 11 und 13, 17 und 19, die sich nur um die Zahl 2 voneinander unterscheiden, heißen Primzahlzwillinge. Daß es auch von ihnen unendlich viele gibt, darf vermutet werden, ist aber nicht bewiesen.

Zurück kommend auf die Faktordarstellung natürlicher Zahlen, gilt noch Folgendes: jede natürliche Zahl läßt sich, abgesehen von der Reihenfolge, auf genau eine Weise als Produkt vom Primzahlen schreiben, wobei diese mehrfach auftreten können. Dies ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Beispiel: 1373328=2⁴·3³·11·17². (Arithmetik kommt vom griechischen arithmós, was Zahl bedeutet.)

Die Zahlen, mit denen die sich eine natürliche Zahl als Produkt darstellen läßt (nicht notwendig Primzahlen), heißen die Teiler der Zahl. Antike griechische Mathematiker philosophierten auch mit ihnen herum. Nicht nur, daß sie - aus welchem Grund auch immer - die geraden, also ohne Rest durch 2 teilbaren, Zahlen "weiblich" und die ungeraden "männlich" nannten; sie bezeichneten auch natürliche Zahlen, bei denen die Summe ihrer echten Teiler mit der 1, aber ohne die Zahl selbst, dieser gleich ist, als "vollkommene" Zahlen. Beispiele sind 6=1+2+3 und 28=1+2+4+7+14; Weiteres dazu s. [4]. Dort wird auch darauf hingewiesen, daß jede gerade vollkommene Zahl gleichzeitig auch eine Dreieckszahl ist, während das Umgekehrte nicht gilt. Ob es ungerade vollkomene Zahlen gibt, ist nicht bekannt. Die vollkommenen Zahlen spielten nach [4] nicht nur in der Antike, sondern auch in der mittelalterlichen Bibel-Exegese und Poetik eine Rolle.

Miteinander "befreundet" heißen zwei Zahlen, bei denen die genannte Teilersumme die jeweils andere Zahl ergibt. So sind 220 und 284 befreundet, denn es ist 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 und 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Außerdem gibt es noch "gesellige" Zahlen und einiges mehr.[5]

Wenn jemand 50 Goldstücke bezahlen muß und nur 20 zahlt, bleibt er dem, der diese Forderung an ihn stellt, 30 Goldstücke schuldig. Solche "Schuldzahlen" wurden im Altertum auf verschiedene Weise besonders gekennzeichnet, um sie vom Guthaben zu unterscheiden, etwa durch Überstreichen oder eine andere Farbe (heute noch: "rote" Zahlen). Sie treten dann auf, wenn man von einer natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl als sie selbst abzieht, und werden in der Mathematik mit einem vorgesetztes Minuszeichen versehen, im obigen Beispiel: 20-50=-30. Man nennt sie "negative ganze Zahlen" von negare=verneinen. Es sind die Zahlen -1,-2,-3,... Ihnen entgegengesetzt sind die positiven Zahlen, die wir bisher natürliche Zahlen nannten. Die 0 ist weder positiv noch negativ. Alle zusammen: die natürlichen Zahlen, die 0 und die negativen ganzen Zahlen bilden die Menge der ganzen Zahlen. Redet man von der Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen, sind die 0 und die natürlichen Zahlen gemeint.

Eine Grundtätigkeit im Umgang mit ganzen Zahlen ist außer dem Zählen selbst das Aufteilen oder Verteilen, kurz: das Teilen. Bei vielen Zahlen, die deshalb teilbar genannt werden, gelingt das, ohne daß etwas übrig bleibt; bei anderen ergibt sich ein Rest. Verteilt man beispielsweise 10 Äpfel unter 5 Kinder, so ist eine gebräuchliche Schreibweise dafür (aber nicht die einzige), weil jedes Kind zwei Äpfel erhält, 10:5=2. Eine andere, inzwischen veraltete, verwendet anstelle des Doppelpunktes den Schrägstrich /. Meist schreibt man die 10 über und die 5 unter einen waagerechten Strich und nennt das Ganze einen Bruch. Was über dem Strich steht, ist der Zähler und das unter dem Strich stehende der Nenner des Bruches. Der Zähler kann kleiner sein als der Nenner wie z. B. bei 3/5; dann liegt die diesem Fall entsprechende Markierung auf dem oben erwähnten Zahlenstrahl zwischen 0 und 1. Ist der Zähler größer als der Nenner und kein Vielfaches von diesem, liegt der Markierungspunkt zwischen zwei anderen Markierungen für die ganzen Zahlen.

Zähler und Nenner können einzeln oder zusammen positiv wie negativ sein; das schließt den Nenner 0 aus. Dadurch erhält man beim Teilen positive und negative Ergebnisse. Zahlen mit ganzzahligem Zähler und Nenner (ohne die 0) heißen rational. Dieses Wort kommt von dem lateinischen "ratio" her, das sehr viele Bedeutungen hat. An erster Stelle steht dabei in meinem dicken Wörterbuch [6] einfach nur "Rechnung", also etwas ganz Neutrales, wenig Aufschlußreiches, und in etwas größerem Abstand auch "Vernunft". Deshalb wird der Ausdruck "rationale Zahlen" von manchen auch als "vernünftige Zahlen" ins Deutsche übersetzt, was mir nicht besonders sinnvoll erscheint. Was soll an ihnen vernünftig sein?

Das Gegenteil der rationalen Zahlen, also diejenigen, die sich nicht aus der Teilung einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl (die auch dieselbe sein kann) ergeben, heißen irrational. Ihre Darstellung im Dezimalsystem ist weder abbrechend noch periodisch.

Bei den irrationalen Zahlen unterscheidet man zwischen algebraischen und transzendenten Zahlen. Die algebraischen sind die Lösung einer Gleichung der Form a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+...+ a₁x + a_o=0, wobei n eine natürliche Zahl ist und die Koeffizienten a_n, a_n-1,..., a₁, a_o rationale Zahlen sind. Transzendente Zahlen (transcendere=darüber hinausgehen) sind die übrigen irrationalen Zahlen. Zu ihnen gehören zum Beispiel die durch einen unendlichen Grenzprozeß definierte Eulersche Zahl e und das Verhältnis: Länge des Umfangs eines Kreises zu dessen Durchmesser, das mit π abgekürzt wird.

Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen, wobei "reell" soviel wie "wirklich" bedeutet.

Diese Bezeichnung rührt daher, daß man bis ins 16. Jahrhundert beim Lösen quadratischer Gleichungen immer wieder auch auf Quadratwurzeln aus negativen reellen Zahlen stieß, die man als unsinnig und nicht verwertbar ansah. Sie machten auf die damaligen Forscher einen gespenstischen, geisterhaften Eindruck, und man bezeichnete sie als imaginäre, d. h. nur eingebildete, Zahlen. Hierauf beruht die im 18. Jahrhundert von dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) eingeführte Verwendung des Buchstaben i für Wurzel aus -1. (Üblicherweise wird statt dessen meist i²=-1 definiert, worauf ich hier nicht näher eingehen möchte.)

Seien a und b zwei reelle Zahlen, so nennt man den daraus gebildeten Ausdruck a+bi eine komplexe Zahl. ("Komplex" bedeutet "zusammengesetzt".) Ihre graphische Darstellung erfolgt, anders als bei den reellen Zahlen, nicht auf einer Zahlengerade (das ist die Verlängerung des oben erwähnten Zahlenstrahls nach links über die 0 hinaus bis ins Unendliche), sondern in einer Ebene. Die komplexen Zahlen lassen sich auch nicht wie die natürlichen Zahlen der Größe nach anordnen. Im Gegensatz zu früher, als die "eingebildeten", imaginären Zahlen noch keine praktische Bedeutung besaßen, gewannen die komplexen Zahlen diese in starkem Maße bei der Schwingungslehre und insbesondere in der Wechselstromtechnik. Durch sie verringert sich bei Rechnungen der Schreibaufwand beträchtlich im Vergleich dazu, daß man ganz im Reellen bleibt.

Außer den komplexen Zahlen gibt es auch noch hyperkomplexe Zahlen, zu denen die von dem irischen Mathematiker Sir William Rowan Hamilton (1805 bis 1865) erdachten Quaternionen [7] gehören. Sie finden verbreitet Anwendung in verschiedenen Gebieten der Theoretischen Physik.

Zum Abschluß seien noch die surrealen Zahlen erwähnt. Dieses aus dem Französischen stammende Wort bedeutet "überwirklich" oder "über die Wirklichkeit hinausgehend". Es findet sich auch in der bildenden Kunst, etwa bei den Werken des Spaniers Salvador Dalí (1904 bis 1989) [8]. Was surreale Zahlen sind, wird zum Beispiel hier [9] auf den Seiten des dänischen Mathematikers Claus Tøndering erklärt.

Anmerkung 1. Eine früher wichtig gewesene Teilmenge der reellen Zahlen sind die Logarithmen. Was dieses Wort bedeutet, wer sie erfand und wozu, welche Rolle sie über Generationen im Schulunterricht spielten, und welches praktische, einst vielbenutzte Gerät auf ihnen beruht - darüber ließe sich während des "Sommerlochs" ebenfalls berichten. Mir fehlt im Moment leider die Zeit dazu.
Die Logarithmen hängen mit der Potenzrechnung zusammen, und das tun auch die Wurzeln. Deren Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal ergäbe ein weiteres interessantes Kapitel.

Anmerkung 2. Die meisten Bezeichnungen der einzelnen Zahlenarten sind auf das Lateinische oder Griechische zurückgehende Adjektive. Gelegentlich wurden sie aber auch mit Namen von Personen verbunden. So gibt es z. B. Mersenne- und Bernoulli-Zahlen. Wer war Mersenne; aus welchen Mitgliedern bestand die in dieser Form einmalige Schweizer Mathematikerfamilie Bernoulli? Welche Bedeutung und welches Schicksal hatte Leonhard Euler, nach dem die oben nur kurz erwähnte Zahl e benannt ist? Auf welche verschiedenen Weisen läßt sich diese angenähert berechnen, und wo überall findet sie Anwendung? Auch darüber lohnte sich ein Artikel auf dem MP.

Anmerkung 3. Zahlen und mathematische Figuren hängen miteinander zusammen, nicht nur bei den Quadrat- und Dreieckszahlen. Für Amateure wie Fachgelehrte bilden beide eine unerschöpfliches, reizvolles Thema. Ihnen ist ein Liedchen gewidmet, das man sich hier [10] anhören kann.

Hans-Jürgen

[1] http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~VK08-Kap3.pdf", Abschnitt 3.1. Das Kronecker-Zitat wird im Internet oft auch so wiedergegeben, daß es sich auf die ganzen Zahlen bezieht. - Das Verhältnis zwischen Kronecker und seinem Schüler Georg Cantor, dem Begründer der Mengenlehre, war gespannt und unglücklich. "Kronecker called Cantor a 'charlatan', a 'renegade', and a 'corrupter of youth' ", vgl. hier, Lecture I nach dem Porträtfoto von Cantor.
[2]  Archimedes (Wikipedia, Abschnitt Stellenbasiertes Zahlensystem)
[3]  Onkel Dagobert
[4]  Vollkommene Zahlen
[5]  Befreundete Zahlen
[6]  Georges, Lateinisch-Deutsches Handwörterbuch, Leipzig 1843
[7]  Quaternionen
[8]  Salvador Dalí
[9]  Surreal Numbers - An Introduction. Ungewöhnlich in einer mathematischen Abhandlung sind die letzten beiden Zeilen des Preface auf Seite 3.
[10] Lob der Mathematik

Re: Über Zahlenarten und -namen von pinwheel am So. 15. August 2010 16:38:00

Ein schöner Artikel! Er hat mich daran erinnert, dass ich das Buch "Zahlen" von Ebbinghaus schon immer einmal lesen wollte. Eine Sache ist mir aufgefallen: Die Zahl 28 ist vollkommen, jedoch ist 28 = 1+2+4+7+14. Grüße pinwheel