Auf dem Matheplaneten ging es hier um pythagoreische Dreiecke.
Das sind rechtwinklige Dreiecke, deren Seitenlängen natürliche Zahlen sind.

Jemand fragte:
"Wieviel Prozent der Abiturienten kennen 3²+4²=5² oder zusätzlich 5²+12²=13² ?", worauf ich antwortete:

Die pythagoreischen Zahlen und Dreiecke stehen, so weit ich weiß, nicht im Lehrplan der Schulen, dagegen die binomischen Formeln.
Zieht man von der ersten: (x+y)²=x²+2xy+y² die zweite: (x-y)²=x²-2xy+y² ab, bleibt übrig:
x²+2xy+y²-(x²-2xy+y²)=4xy.
Dies lässt sich schreiben als
(x+y)²-(x-y)²=(2√(xy))²,
und damit aus der Wurzel eine natürliche Zahl wird, substituiere ich x=m², y=n²; m,n∈ℕ; dann wird (2√(xy)²=(2mn)².
Hiermit und in veränderter Reihenfolge ergibt sich:
(m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)².
Dies ist Euklids Formel zur Erzeugung pythagoreischer Dreiecke mit den Seiten a=m²-n², b=2mn, c=m²+m² aus zwei beliebigen natürlichen Zahlen m und n.
Ihre Herleitung ist einfach und auch Schülern leicht verständlich.
(Viel aufwändiger und nicht mehr im Rahmen der Schulmathematik ist sie hier.)
Aufgabe: Von einem pythagoreischen Dreieck ist nur bekannt, dass eine seiner Katheten 44 cm lang ist.
Wie lang sind die beiden anderen Seiten?

Fortsetzung

In ihr bedeuten m² und n² die Quadrate zweier frei wählbarer natürlicher Zahlen m und n.
Das große Quadrat hat die Fläche (m²+n²)², das kleine die Fläche (m²-n²)², und die vier Rechtecke haben jeweils die Flächen m²n².

Somit gilt: (m²-n²)²+4m²n²=(m²+n²)², gleichbedeutend ¹⁾ mit (m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)².

Das ist wieder Euklids Formel - diesmal ohne Rechnung entstanden.

Hier deutet sich an, wie die damaligen Mathematiker bei der Lösung geometrischer Probleme vorgingen: Sie rechneten nicht, sondern argumentierten. Sie zerschnitten Quadrate, Drei- und Vielecke, verglichen die Flächeninhalte der so erhaltenen Teile, ordneten diese um und nahmen andere Flächenstücke mit hinzu. Auf diese Weise gelangten sie zu neuen Erkenntnissen und stellten Lehrsätze auf, die bis heute bekannt und von Wert sind.  Mehr dazu
Beispiel Pythagoras, mit Bildern, historischen Anmerkungen und Verallgemeinerungen (Wikipedia).

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¹⁾ in algebraisch-symbolischer Darstellung. Euklid verwendete sie nicht. Was er sah und behauptete, bewies er allein mit Zirkel und Lineal. Wichtig waren hierbei der Satz des Thales, der Höhensatz beim rechtwinkligen Dreieck und die antike Proportionalitätslehre.

Ergänzung:

(Zur Begründung s. Die Leiter und die Sternkurve.)

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