Wie alt sind die beiden heute?
Alex sagt: "Bert lügt." Bert sagt: "Clemens lügt." Clemens sagt: "Ihr lügt alle beide!" Was folgt hieraus, d. h. wer von den dreien lügt nun wirklich, und wer spricht die Wahrheit?
Erklärung:
A und B sind Aussagen, die unabhängig voneinander wahr oder falsch sein können. Es gibt auch Aussagen, die sich auf A und B gemeinsam beziehen. Beispiel: "A und B sind wahr." Ist diese Aussage falsch, dann bedeutet das, dass mindestens eine von ihnen, A oder B, falsch ist oder beide falsch sind, in Zeichen:
A·B = A + B : das ist eines der zwei De Morganschen Gesetze; das andere lautet: A+B = A·B.
Den Malpunkt für das logische UND kann man wie im Vorstehenden auch weglassen. "+" steht für das einschließende oder inklusive ODER im Gegensatz zum exklusiven, bei dem das Wort "entweder" mit verwendet wird. - Rechnen kann man in der nach ihrem Erfinder Boole benannten Algebra ähnlich wie in der normalen, schon in der Schule gelehrten. Dabei ist die Boolesche Algebra in mancher Hinsicht einfacher als sie: es gibt in ihr nur die Zahlen 0 und 1 (sie stehen für falsch und wahr), keine Vielfachen und Potenzen (denn es ist A+A=A und A·A=A); auch gilt A+BA=A, bei beliebigem B, um nur einiges zu nennen. Die Boolesche Algebra ist von großer technischer Bedeutung und außerdem in der Unterhaltungsmathematik bei den sogenannten "Logeleien" beliebt.
Dialog mit einer Künstlichen Intelligenz namens Copilot
Ich: Guten Abend. Hier ein kleines Logikproblem. A sagt: B lügt. B sagt: C lügt. C sagt: die lügen alle beide. Frage: wer lügt wirklich, und wer sagt die Wahrheit?
Cop: Guten Abend, Hans-Jürgen! Das ist ein spannendes Logikproblem. Lassen wir uns das mal Schritt für Schritt analysieren:
Wenn A sagt, dass B lügt, bedeutet das, dass A die Wahrheit sagt, wenn B tatsächlich lügt.
Wenn B sagt, dass C lügt, dann sagt B die Wahrheit, wenn C lügt.
Wenn C sagt, dass „die lügen alle beide“, dann behauptet C, dass sowohl A als auch B lügen.
Nun prüfen wir die Möglichkeiten: Fall 1: C sagt die Wahrheit. Wenn C die Wahrheit sagt, dann müssten sowohl A als auch B lügen. Wenn A lügt, dann lügt B nicht, was aber im Widerspruch zu C's Aussage steht, dass „beide lügen“. Also kann C nicht die Wahrheit sagen.
Fall 2: A sagt die Wahrheit. Wenn A die Wahrheit sagt, dann lügt B. Wenn B lügt, ist seine Aussage, dass C lügt, falsch, was bedeutet, dass C die Wahrheit sagt. Aber wenn C die Wahrheit sagt, behauptet er, dass A lügt, was im Widerspruch zu unserer Annahme steht. Also kann A nicht die Wahrheit sagen.
Fall 3: B sagt die Wahrheit. Wenn B die Wahrheit sagt, dann lügt C. Wenn C lügt, ist seine Aussage, dass „beide lügen“, falsch. Das würde bedeuten, dass A die Wahrheit sagt. Und wenn A die Wahrheit sagt, lügt B nicht, was in sich konsistent ist.
Ergebnis: B sagt die Wahrheit, und A sowie C lügen.
Ich hoffe, das hat Licht ins Dunkel gebracht.
Ich: Vielen Dank für die Lösung, die ich auch durch formales Rechnen mit Hilfe der Booleschan Algebra herausbekommen habe.
Cop: Sehr beeindruckend, Hans-Jürgen! Ein mathematischer Ansatz zur Wahrheitsfindung, sozusagen! ??
Fortsetzung: zu den Lösungen der Aufgaben mit der Erde
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