Über Anschaulichkeit und Flachheit

Dieser Artikel mit einer etwas seltsam klingenden Überschrift wendet sich vornehmlich an Schüler, an Anfänger beim Studium der Astrophysik sowie an interessierte Laien, von denen auf dem zuletzt genannten Gebiet auch ich einer bin. Grundsätzlich Neues enthält er nicht, doch führt er am Ende auf einige Fragen, die vielleicht bei einer anschließenden Diskussion beantwortet werden können.

Ich beginne mit antiker Geometrie. Bei ihr spielte Anschaulichkeit eine bedeutende Rolle. Eine der allerersten Beobachtungen dürfte gewesen sein, daß die Summe der Innenwinkel eines beliebigen (ebenen) Dreiecks stets einen Wert um 180° ergibt. Die Abweichungen davon sind eine Folge von Zeichenungenauigkeit. So galt schließlich als idealisierte Erfahrungstatsache, daß die Winkelsumme exakt 180° beträgt.

Dies läßt sich auch anschaulich begründen. Verschiebt man in dem Dreieck

die Ecken bei A und B, ohne sie zu verdrehen, in den Punkt C,



dann liegt zwischen den Winkeln β und α der Winkel γ'. An ihm ist zu sehen, daß er ebenso groß ist wie der Winkel γ; einen Grund dafür, daß er größer oder kleiner sein könnte, gibt es nicht. Dazu bedarf es keines besonderen Beweises, und so legen wir die Gleichheit von γ' und γ axiomatisch fest.¹ Dann folgt aus β+γ'+α=180°: α+β+γ=180°, was zu zeigen war.
¹Die beiden Winkel erhalten, nicht nur bei dieser Dreiecksfigur, sondern überall, wo sie sonst auftreten, den Namen "Scheitelwinkel", was zu dem Satz führt: "Scheitelwinkel sind gleich groß".

Es besteht auch die Möglichkeit, umgekehrt vorzugehen, von der ebenfalls Gebrauch gemacht wurde: die Aussage "Die Summe der Innenwinkel eines (ebenen) Dreiecks beträgt 180°." wird sofort zum Axiom erhoben. Dann folgt daraus der Satz über die Scheitelwinkel und vieles andere mehr.

Zum Beispiel kann man mit der Innenwinkelsumme 180° beim Dreieck in dieser Thales²-Figur


die Größe des Winkels γ berechnen, der dem Augenschein nach 90° beträgt:


Da die Dreiecke AMC und MBC gleichschenklig sind, ist der linke Teilwinkel von γ gleich α und der rechte gleich β, d. h. es ist γ=α+β. Wegen α+β+γ=180° ⇔ γ=180°-(α+β) folgt 2γ=180°, γ=90°, wie vermutet.
² Thales von Milet (gest. um 546 v. Chr.)

Die antiken griechischen Mathematiker liebten es, geometrische Objekte zu zerschneiden und anders wieder zusammenzusetzen, um neue Erkenntnisse zu gewinnen. Dies zeigt das folgende Beispiel, bei dem nicht Winkel, sondern Strecken und Flächeninhalte eine Rolle spielen:



Den Figuren entnimmt man (a+b)²=2ab+c², woraus a²+b²=c² folgt. Das ist der Satz von Pythagoras (um 570 bis 510 v. Chr.), der für viele praktische Aufgaben und die Herleitung weiterer Lehrsätze von Nutzen ist. Bekannt war er bereits den Babyloniern und auch im fernen China. Obwohl für die Richtigkeit einer Behauptung ein Beweis genügt, soll es für den Satz von Pythagoras, dessen Bezeichnung mit dem Namen des griechischen Weisen von Euklid (ca.360 bis ca.280 v. Chr.) stammt, inzwischen über hundert Beweise von Matheprofis und -amateuren geben.

Allein mit ihm, ohne Strahlensatz, Winkelfunktionen u. a., kann man den Satz von Viviani³ beweisen, auf den sich dieses gleichseitige Dreieck bezieht:



Bei ihm zeigt die Anschauung (durch Nachmessen), daß die vom beliebigen Punkt P ausgehenden Lotstrecken a,b,c zusammen so lang wie die Höhe h sind.
³ Vincenzo Viviani (1622–1703)

(Anmerkung: viel leichter und ohne Pythagoras geht der Beweis, wenn die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks als bekannt vorausgesetzt wird.)


Nicht immer führt Anschaulichkeit zum richtigen Ergebnis, sondern bisweilen auch in die Irre. Dies zeigt sich bei der folgenden Frage: in wieviele Teile wird die Fläche eines Kreises durch die Diagonalen und Seiten eines auf dem Kreisumfang liegenden, regelmäßigen n-Ecks zerlegt?

Um möglichst viel Untersuchungsmaterial zu haben, betrachten wir dabei auch das "Zweieck":


Bei diesen vier Figuren ist die Antwort einfach: bedeutet n die Anzahl der Ecken, dann wird der Kreis in 2^n-1 Bereiche zerlegt; doch geht das nicht immer so weiter. Beim nächsten Schritt erhält man statt der erwarteten 32 Teile nur 30:


(wir haben sechs Sektoren mit fünf Feldern).

Auch bei dem, was Jahrtausende lang über die Erde gedacht wurde, ging man von der Anschauung aus und hielt sie für eine flache Scheibe, aus der an manchen Stellen einzelne Berge und ganze Gebirge hochragen. Sie schwimmt auf dem Weltmeer, glaubte man. Dessen angenommenem Außenrand durfte niemand zu nahe kommen, um nicht versehentlich "hinunterzufallen". Diese Vorstellung wird durch eine Karikatur auf der (medizinischen) Webseite [1] angedeutet.

Nicht alle dachten so. Schiffskapitänen auf hoher See war aufgefallen, daß man von weit entfernten anderen Schiffen als erstes die Mastspitzen sieht. Das paßte nicht zur Vorstellung der Erde als flache Scheibe. Zu denen, die darin ein Problem sahen und nach einer Lösung suchten, gehörte der griechische Mathematilker Eratosthenes von Kyrene (ca. 276 bis 194 v. Chr.), dem wir auch ein nützliches Primzahlsieb verdanken. Mit einfachen, aber genialen Schattenexperimenten bewies er, daß die Erde Kugelform hat, und er konnte sogar mit bemerkenswerter Genauigkeit die Größe der Erdkugel bestimmen.

Dennoch setzten sich diese Erkenntnisse nur sehr langsam durch. Ähnlich wie bei der Scheibe glaubten viele auf der Nordhalbkugel, daß die auf der Südhalbkugel lebenden Menschen von ihr herunterfallen müßten. Man gab ihnen einen besonderen Namen: "Antipoden", was "Gegenfüßler" bedeutet. Von uns aus gesehen, laufen sie mit den Füßen nach oben und mit dem Kopf nach unten.

Der wagemutige Christoph Columbus (1451?-1506) dagegen nahm die behauptete Kugelgestalt der Erde ernst: er fuhr von Portugal aus nach Westen, hoffte, auf diese Weise nach Indien zu kommen, und hatte damit einen Teilerfolg. Daß zwischen seinem Ausgangshafen und Ziel ein ganzer, riesiger Kontinent liegt, den man später Amerika nannte, konnte er nicht ahnen. Er hielt daran fest, in Indien gelandet zu sein, und deshalb heißen die amerikanischen Ureinwohner heute noch Indianer.

Was nun das Weltall betrifft, so schrieb man ihm bis zum Anfang des 20. Jahrhunderts ebenfalls Kugelgestalt zu - vermutlich der Einfachheit halber, und weil über große Distanzen mit dem Fernrohr keine auffälligen Inhomogenitäten in der Sternenverteilung erkennbar waren, wohin man auch blickte. Obwohl wir selber zu diesem Weltall gehören (ein anderer Name ist "Universum", was einfach "Alles" bedeutet), betrachtete man es dabei in Gedanken von außen. Es war das Entsprechende wie nach dem Wechsel vom geozentrischen zum heliozentrischen Weltsystem: auch dort "sieht" man gedanklich als äußerer Beobachter die von Johannes Kepler (1571-1630) entdeckten und mathematisch beschriebenen Ellipsen, auf denen sich mit geringen Abweichungen die Planeten um die Sonne bewegen.

Gedacht wurde beim Weltall dreidimensional. Die große Kugel, die das Universum repräsentiert, befinde sich, so meinte man, in unserem gewöhnlichen, euklidischen Raum mit den Ausdehnungen Länge, Breite und Höhe. Die Kugeloberfläche sollte von den letzten Einzelsternen und Galaxien gebildet werden, die noch zum Universum gehören. Über ihre Entfernung vom Kugelmittelpunkt gab es keine klaren Vorstellungen.

Allgemein wurde davon ausgegangen, daß das Universum unveränderlich, statisch ist. Die Zeit spielte deshalb bei den Überlegungen keine Rolle. Und wenn jemand es für möglich hielt, daß sich das Univerum doch verändert, wurde die Zeit lediglich als ein von den drei Ortskoordinaten unabhängiger Parameter betrachtet, der in keiner Beziehung zu ihnen steht.

Das geschah unter dem immer noch bestehenden Einfluß Isaac Newtons (1642-1726). Dieser hatte gelehrt, es gebe einen einheitlichen, für das gesamte Weltall gültigen Zeitablauf.

Dies änderte sich ab 1905, als Albert Einstein (1879-1955) seine Spezielle Relativitätstheorie (SRT) vorlegte. Danach haben gegeneinander (gleichförmig) bewegte Systeme eine eigene Zeit, die sogenannte "Eigenzeit". Hierdurch ergibt sich - von allem anderen abgesehen - eine schwer zu verstehende Besonderheit: ein kosmisches Objekt bewegt sich jetzt nicht mehr in einem dreidimensionalen, sondern vierdimensionalen Raum, dem Raum-Zeit-Kontinuum. Die Zeit wird dabei durch eine vierte Koordinatenachse eingeführt, die auf den drei anderen senkrecht steht. Das ist anschaulich nicht mehr begreifbar, sondern läßt sich nur noch mathematisch formulieren. (Daß die Zeit t gegenüber den drei Ortskoordinatenachsen eine Sonderrolle spielt, sieht man auch noch an folgendem: es ist klar, daß sie, wenn sie wie diese von einem gemeinsamen Koordinatenursprung aus als Länge abgetragen werden soll, mit einer Geschwindigkeit multipliziert werden muß; dafür eignet sich naturgemäß die Lichtgeschwindigkeit c. Zusätzlich aber wird in der vierdimensionalen Minkowski-Welt⁴, die mit der SRT eng verbunden ist, das Produkt ct noch mit der imaginären Einheit i multipliziert. Dadurch wird die Unanschaulichkeit des hierbei verwendeten Zeitbegriffs weiter verstärkt.)
⁴ Herrmann Minkowski (1864-1909)

Im ersten Drittel des vorigen Jahrhunderts wurde von Edwin Hubble (1889-1953) entdeckt, daß die Abstände zwischen den von ihm beobachteten Galaxien sich vergrößern. Daraus schloß man, daß das sich das Universum insgesamt ausdehnt. Um hierbei ein gewisses Maß an Anschaulichkeit zurückzugewinnen, gibt es unter anderem dieses Gedankenmodell: auf der Oberfläche eines gewöhnlichen dreidimensionalen, kugelförmigen Luftballons sind die Sterne und Galaxien angeklebt. Wird der Ballon mehr und mehr aufgeblasen, entfernen sie sich voneinander. Unklar bleibt (mir), welche Zeit bei dieser Analogie in Betracht gezogen wird. Ist es unsere Eigenzeit, die wir als Erdbewohner erleben? Die nicht mehr ganz aktuelle (von 2004 stammende) Webseite [2] eines Physikers von der TU Wien enthält den sonst nur selten im Internet anzutreffenden Begriff "kosmologische Zeit". Was mag damit gemeint sein? (Auf der Wikipediaseite [3] werden zwei kosmologische Zeiten t_e1, t_e2 erwähnt, die, soweit ich sehe, unerklärt bleiben.)

In Darstellungen der modernen Weltraumforschung heißt es, das Universum sei flach. Diese Ausdrucksweise wird, finde ich, ebenfalls für Laien nicht ordentlich erklärt. Soll man sich das so vorstellen, daß das Weltall im Vierdimensionalen eine Scheibe ist, wie es früher im Dreidimensionalen von der Erde geglaubt wurde?

Geheimnisvoll bleibt die Ursache oder Kraft, die das Weltall anscheinend auseinander treibt und den "Luftballon" weiter aufbläst, der übrigens auch ein Torus sein kann. Von "dunkler Materie" (oder Energie) mit antigravitativen Eigenschaften ist hier die Rede, doch darauf näher einzugehen, wäre ein neues Thema.

Hans-Jürgen

[1] "... Die Erde ist eine Scheibe!"
[2] http://www.teilchen.at/news/97
[3] http://de.wikipedia.org/wiki/Rotverschiebung

Re: Über Anschaulichkeit und Flachheit von TomS am Sa. 01. Oktober 2011 23:12:54

Ein kurzer Kommentar zum letzten Absatz "Geheimnisvoll bleibt die Ursache oder Kraft, die das Weltall anscheinend auseinander treibt und den "Luftballon" weiter aufbläst, der übrigens auch ein Torus sein kann. Von 'dunkler Materie' (oder Energie) mit antigravitativen Eigenschaften ist hier die Rede, doch darauf näher einzugehen, wäre ein neues Thema. " Die Ursache der Expansion ist zunächst nicht geheimnisvoll; das folgt direkt aus der ART. 'Dunkle Materie' wirkt (wie gewöhnliche Materie) immer anziehend und ist im Rahmen der ART nichts außergewöhnliches. 'Dunkle Energie' wirkt tatsächlich antigravitativ; sie könnte jedoch auch konventionell als kosmologische Konstante (eine weitere Naturkonstante vergleichbar der Newtonschen Gravitationskonstante) erklärt werden.