Die ersten Antworten auf diese Fragen waren recht allgemein gehalten oder, infolge einer Verwechslung,
auf etwas anderes bezogen und somit nicht sehr hilfreich. Selber schrieb ich für n=4, hier verkürzt
wiedergegeben, zunächst dies:

Beitrag No.15, eingegangen 2008-11-21 17:47

Hi,
wie kann man den Schwerpunkt eines unregelmäßigen Vierecks konstruieren?



Zerlegt man das Viereck 0ABC durch die Diagonale AC in zwei Teildreiecke und konstruiert deren Schwerpunkte S1, S2, dann ist zu erwarten, daß der Schwerpunkt des Vierecks auf der Verbindungsstrecke S1S2 liegt und nicht irgendwo außerhalb von ihr. Entsprechendes gilt für die Aufteilung des Vierecks durch die Diagonale 0B in zwei andere Dreiecke mit den Schwerpunkten S3, S4. Der Vierecksschwerpunkt S wird somit der Schnittpunkt der beiden Verbindungsstrecken S1S2 und S3S4 sein:



Dies kann man anhand eines Pappmodells des Vierecks bestätigen: wird es mit seinem so konstruierten Schwerpunkt auf eine Bleistiftspitze aufgesetzt, kippt es nicht zur Seite.

Mit Hilfe von Vektoren läßt sich der Vierecksschwerpunkt nach der vorstehenden Konstruktionsvorschrift auch berechnen.


In dem dieser Aufgabe gewidmeten thread des "Matheplaneten" wird auch die Konstruktion von Wittenbauer erwähnt. Sie beruht auf der Dreiteilung der Vierecksseiten, vgl. im Internet hier, Seite 5.

Im übrigen ist es noch so, daß man bei der Konstruktion mit den Dreiecksschwerpunkten nicht unbedingt alle vier braucht; es genügen zwei, zum Beispiel S1 und S3:



Durch sie werden Parallelen zu den Diagonalen gezogen; sie schneiden sich im Schwerpunkt des Vierecks.

In der anschließenden Diskussion ging es um den konstruktiven Aufwand der beiden beschriebenen Methoden zur Bestimmung des Viereckschwerpunktes. Ein Teilnehmer meinte anfangs, daß die Verwendung von zwei Schwerpunkten und zwei Parallelen günstiger sei als die Konstruktion mit vier Schwerpunkten, aber nur wenig. Dabei ging er davon aus, daß zur Konstruktion einer Geraden durch einen Punkt, die parallel zu einer gegebenen Geraden verläuft, drei Kreisbögen benötigt werden. Später korrigierte er sich und schrieb, es ginge auch mit zwei Kreisbögen, womit die Methode mit zwei Schwerpunkten gegenüber der mit vieren "klar im Vorteil" sei.

Wie er eine Gerade durch einen Punkt parallel zu einer gegebenen Gerade mit nur zwei Kreisbögen konstruiert, teilte der Betreffende nicht mit. Ich habe ihn nicht gefragt und kam nach einigem Nachdenken zur gleichen Ansicht wie er, daß zwei Kreisbögen ausreichen, gebe aber meine Lösung hier ebenfalls nicht an; sie bleibe als kleine Übungsaufabe offen.

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