Hallo liebe Freunde!

Es ist eine Binsenweisheit, daß in der Schule, speziell in Physik, manches nicht oder nur zum Teil erklärt und verstanden wird, wobei die Gründe dafür vielfältig sein können. Hierdurch sind selbst lernwillige und interessierte Schülerinnen und Schüler öfter nicht in der Lage, ihnen gestellte Aufgaben allein zu lösen.

Ein Beispiel dieser Art könnte die Herleitung der Umlaufzeit einer Mondfähre sein, wie sie vor kurzem
hier angefragt wurde. Als Antwort erhielt der Fragesteller (oder die Fragestellerin?) einen recht allgemeinen Tipp; ob er ausreichte, ist ungewiß. Es kam keine Reaktion mehr, was entweder bedeutet, daß der oder die Betreffende zufrieden war oder sich nicht getraute weiterzufragen.

Wie dem auch sei: im folgenden werde ich versuchen, das Problem und seine Lösung ganz von Anfang an möglichst elementar und in kleinen Schritten zu behandeln. Dabei wende ich mich in erster Linie an Schülerinnen und Schüler, nicht so sehr an Studenten und Fachleute aller Art, die die darzustellenden Grundlagen und Ergebnisse bereits kennen.

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Wenn man einen Körper anstößt, auf den keine Kraft einwirkt, weder Reibung noch Gravitations-, elektrische oder magnetische Kräfte, bewegt er sich, ohne langsamer oder schneller zu werden, auf einer geraden Linie. Es besteht für ihn kein Anlaß abzubiegen oder sein Tempo zu verändern.

Anders ist es, wenn auf den Körper eine Kraft einwirkt. Dann kann es sein, daß seine Bahn sich krümmt. Im Fall der Mondfähre ist die Gravitation die Kraft, mit der der Mond die Fähre anzieht und sie auf ihre Kreisbahn zwingt. Diese Kraft hat eine besondere Eigenschaft: sie ist stets zum Mond hin gerichtet. Genauer: die Kraft "zielt" auf den Mittelpunkt, auf das Zentrum des Mondes. Man nennt sie deshalb auch Zentralkraft. Ein anderes Wort dafür ist Zentripetalkraft; hier steckt noch das lateinische Wort "petere" mit drin, das unter anderem "aufsuchen" oder "hinstreben" bedeutet. (Diejenigen, die kein Latein hatten, sind bisweilen versucht, "Zentripedalkraft" zu sagen, doch hätte das eher mit dem Fahrrad als mit einer Raumfähre zu tun. Bild)

Die Zentripetalkraft FZ, welche die Bahn der Fähre krümmt, kann nun auf zweierlei Weise mathematisch beschrieben werden:

Zum einen gilt FZ=ΓmM/r². Hierbei bedeutet  Γ ("Gamma") die universelle Gravitationskonstante, m die Masse der Fähre, M die Masse des Mondes und r den Radius der als kreisförmig angenommenen Umlaufbahn der Fähre. Die Gleichung gilt nicht nur für den Mond und die Fähre, sondern für zwei beliebige Körper mit den Massen m und M im Abstand r voneinander. Entdeckt wurde sie von Isaac Newton (1643-1727) und wird nach ihm Newtonsches Gravitationsgesetz genannt. (Anmerkung: r ist, genau genommen, der Abstand der Mittelpunkte der beiden Körper, deren Ausdehnung im Vergleich zu r als gering vorausgesetzt wird. Eine Ausnahme bilden zwei Kugeln: ihr Durchmesser kann auch größer sein.)


Nun zu der zweiten Art, einen mathematischen Term für die Zentripetalkraft aufzustellen. Hierzu müssen wir leider sehr weit ausholen.

Wenn zum Ausdruck gebracht werden soll, daß sich die Geschwindigkeit eines Körpers verändert, nennt man seine Bewegung beschleunigt. Im täglichen Sprachgebrauch wird darunter meistens verstanden, daß der Körper, etwa ein Auto, seine Geschwindigkeit vergrößert. In der Physik spricht man dagegen auch dann von einer beschleunigten Bewegung, wenn die Geschwindigkeit abnimmt und deutet das durch ein Minuszeichen an. Aber auch die Richtungsänderung spielt bei der physikalischen Betrachtungs- und Sprechweise eine Rolle: selbst wenn ein Körper wie etwa unsere Mondfähre in jeder Sekunde auf seiner gekrümmten Bahn gleich viele Meter zurücklegt, ist seine Bewegung eine beschleunigte, da sich ständig ihre Richtung ändert. Die vom Mond auf die Fähre ausgeübte Zentripetalkraft bewirkt also eine Beschleunigung der Mondfähre, auch wenn diese während ihrer Bewegung um den Mond weder schneller noch langsamer wird. Hieran muß man sich erst einmal gewöhnen.

Warum ist das Herumreiten auf der Beschleunigung so wichtig? Weil Beschleunigungen und Kräfte eng miteinander zusammenhängen, und auf eine bestimmte Kraft, die Zentripetalkraft, wollen wir ja hinaus.

Wie definiert man nun Beschleunigung mathematisch?

Um das zu beantworten, wenden wir uns zunächst der einfacheren Frage zu: wie wird "Geschwindigkeit" definiert? Die Antwort scheint trivial: Geschwindigkeit = Weg durch (dafür benötigte) Zeit, v=s/t. Dies ist aber nur ein Sonderfall, der darin besteht, daß die Geschwindigkeit während der gesamten untersuchten Bewegung konstant bleibt. Nur dann kann man eine beliebig große Meßstrecke s wählen und die dafür benötigte Zeit t messen. Verändert sich die Geschwindigkeit dagegen im Laufe der Bewegung, muß man mehrmals messen und dabei möglichst kleine Wegabschnitte in Betracht ziehen, je kleiner desto besser. (Daß dadurch die Meßfehler bei den Teilstrecken und den gemessenen, nun nur noch sehr kurzen Zeiten steigen und die erhaltenen einzelnen v-Werte merklich verfälschen können, steht auf einem anderen Blatt. Hier geht es nur um das Gedankliche.)

Weg- und Zeitabschnitte werden mit dem griechischen Δ ("Delta") bezeichnet, das dem lateinischen D entspricht. Damit wird angedeutet, daß es sich dabei um Differenzen handelt, etwa so: Δs=s2-s1, wobei s2 und s1 zwei zu den Zeiten t2, t1 gemessene Wegstrecken sind. Entsprechend wäre dann Δt=t2-t1. Im Idealfall läßt man  Δs und Δt "unendlich klein" werden und erhält so die Momentangeschwindigkeit v=Δs/Δt für Δt
0. Oder mit dem limes-Zeichen geschrieben ("Limes", lat., bedeutet "Grenze"):
http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=1221345

Läßt man das Limes-Zeichen weg und ersetzt Δ durch d, nimmt die Momentangeschwindigkeit die Form

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\mixoff fed-Code im Editor öffnenan, d. h. die Momentangeschwindigkeit ist der Differentialquotient oder die Ableitung des Weges nach der Zeit.

Die Delta-Symbolik stammt von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), der etwa zeitgleich mit Newton, aber unabhängig von ihm, die Differential- und Integralrechnung entwickelte. Newton bezeichnete die Ableitung einer zeitabhängigen Größe y nach der Zeit mit einem darübergesetzten Punkt, und das hat sich bis heute erhalten, so daß wir kürzer auch schreiben können:

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Ganz entsprechend wird nun die Momentanbeschleunigung definiert, oft auch nur Beschleunigung genannt:

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Sie ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit; die Momentangeschwindigkeit ist die erste Ableitung.

(Anmerkung zu den verwendeten Buchstabensymbolen: s steht für "Strecke", t für lat. "tempus" = Zeit, v für lat. "velocitas" = Geschwindigkeit und a für lat. "acceleratio" = Beschleunigung.)

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Nun müssen wir, um das Folgende besser zu verstehen, darauf eingehen, wie man Beschleunigungen mißt – bei der Geschwindigkeit haben wir das bereits getan.

Hierbei betrachten wir zunächst wieder einen Sonderfall: die Bewegung soll geradlinig und die Beschleunigung a konstant sein. Dann folgt (aus dem Hauptsatz der Analysis, nach dem die Umkehrung der Differentiation die Integration ist) aus

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=1221422

 v = a t + vo ,

wobei vo der Anfangswert der Momentangeschwindigkeit zur Zeit t=0 ist.

Nochmalige Integration ergibt den zurückgelegten Weg

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=5341220

mit so als Anfangsstrecke zur Zeit t=0. Wählt man insbesondere  vo = 0 und so = 0, bleibt übrig

s = a t²/2 .

Aufgelöst nach a:

a = 2s/t² ,

verwendet man dies unter anderem für Versuche zum Freien Fall, bei denen der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann. Dabei ergibt sich bei unterschiedlchen Meßwertpaaren (s,t) für a ein fester Wert in der Nähe von 9,81 m/s2, der mit g bezeichnet wird und Fall- oder Erdbeschleunigung heißt.

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Möchte man Versuche mit verschiedenen Beschleunigungswerten anstellen, eignet sich dafür eine spezielle Fahrbahn. Sie besteht aus einer Schiene, auf der möglichst reibungsfrei kleine Wagen hin- und herrollen können. Die Fahrbahn wird waagerecht so ausgerichtet, daß sie sich nicht von selbst in Bewegung setzen.

Seitlich an einem solchen Wagen ist ein Faden befestigt, der ebenfalls waagerecht über eine Rolle am Ende der Schiene geleitet wird und dort herunterhängt. An ihn kann man verschieden große Gewichtsstücke anhängen, die, als Antriebskräfte wirkend, den Wagen unterschiedlich stark beschleunigen. Auch die Masse des Wagens kann durch Auflegen von Gewichtsstücken verändert werden.

Bei Beschleunigungsversuchen mit der Fahrbahn ergibt sich, daß die Beschleunigung proportional zur Antriebskraft und umgekehrt proportional zur Masse des Wagens ist:

a = F/m

(F steht für engl./franz. "force".)
 
Löst man dies nach F auf, entsteht die berühmte Newtonsche Gleichung

F = m a,

in Worten: "Kraft gleich Masse mal Beschleunigung".

Obwohl diese Beziehung nach der vorstehenden kurzen Beschreibung experimentell an einer geradlinigen Bewegung gefunden wurde, gilt sie auch bei anderen Bewegungsformen, insbesondere für die Kreisbewegung. Vorausgesetzt wird dabei, daß sich während der Bewegung die Masse m des Körpers nicht verändert. Ist dies doch der Fall, tritt an die Stelle von F=m·a eine andere Gleichung, die ebenfalls von Newton stammt.

Die Aussage "Kraft gleich Masse mal Beschleunigung" gehört zu den Grundbestandteilen der Newtonschen Physik und wird deshalb auch "Grundgleichung der Mechanik" genannt. Sie läßt sich auch auf den Freien Fall anwenden. Die Antriebskraft, die einen fallenden Körper beschleunigt, ist sein Gewicht G, so daß die Grundgleichung hierbei lautet:

G = m g ;

darauf komme ich später zurück.

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Auch die oben erwähnte Zentripetalkraft FZ läßt sich durch das Produkt m·a ausdrücken, wenn a die Zentripetalbeschleunigung bedeutet. So können wir für die Zeile, in der der Term des Gravitationsgesetzes vorkommt, schreiben:

ma = ΓmM/r² .

Interessant hierbei ist, daß die Masse m der Mondfähre bei diesem Problem keine Rolle spielt; sie kürzt sich aus der Rechnung heraus, und es bleibt übrig:

a = ΓM/r² .

Nun möchten wir aber aufgabengemäß nicht den Wert der Zentripetalbeschleunigung a wissen, der sich leicht berechnen läßt, wenn ein bestimmter Bahnradius r angenommen wird, sondern wollen einen Term für die Umlaufzeit der Fähre haben. Deshalb müssen wir noch etwas weiter überlegen.

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Dazu betrachten wir einen Kreis mit Radius r um den Ursprung und auf ihm einen Punkt P mit den Koordinaten x = r cosφ, y = r sinφ.  φ ist der Winkel, den die Verbindungsstrecke zwischen P und dem Ursprung mit der positiven x-Achse bildet. Nun soll P sich auf dem Kreis gegen den Uhrzeiger gleichmäßig bewegen, d. h. φ soll sich proportional mit der Zeit verändern:

φ  = ω t.

ω  ("Omega") heißt Winkelgeschwindigkeit, und der dafür gewählte griechische Buchstabe erinnert als Gedankenstütze an das lateinische w.

Wir schreiben also

x = r cosωt ,    y = r sinωt.

Einmal ableiten ergibt die x- und y-Komponente der Momentangeschwindigkeit bei der gleichmäßigen Kreisbewegung


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und ein zweites Mal die Komponenten der Zentripetalbeschleunigung:


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Daraus folgt der Betrag:


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und somit haben wir auch


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Was läßt sich nun noch über ω sagen?

Wenn der Punkt P zur Zeit t=0 an der Stelle x=r, y=0 ist, dann ist er nach der Umlaufzeit T wieder dort, d. h. es gilt r = r cosωT oder cosωT = 1. Dies aber ergibt ωT = 2π und damit
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Wenn wir das in die letzte Gleichung einsetzen, sind wir so gut wie fertig:
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dies muß nur noch nach T aufgelöst werden. (T bedeutet die gesuchte Umlaufzeit der Mondfähre, r den Radius der Umlaufbahn und M die Masse des Mondes.)

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Zum Abschluß zwei weitere Anwendungen der obigen Erkenntnisse, die auch in der Schule behandelt werden können.

Die erste betrifft einen Körper der Masse m, zum Beispiel einen Stein, der auf dem Erdboden liegt. Seine Gewichtskraft (kurz: sein Gewicht) beträgt mg, und diese ist gleich der Gravitationskraft ΓmM/R2, wobei M jetzt die Masse der Erde und R den Erdradius bedeuten. Auch hier kürzt sich, wie oben bei der Fähre, die Masse m heraus, und übrig bleibt g = ΓM/R2. Da g, Γ und R bekannt sind, kann man auf diese Weise die Masse der Erde bestimmen – sicherlich ein erstaunliches Resultat!

(Historische Anmerkung: Newton kannte den Wert der Gravitationskonstanten Γ noch nicht, jedenfalls nicht genau. Um ihn wenigstens größenordnungsmäßig zu erfassen, ging er den umgekehrten Weg: er nahm an, daß die Erde einigermaßen einheitlich aus den Gesteinen besteht, die an der Erdoberfläche zu finden sind. Deren Dichte, die sich leicht messen läßt, multiplizierte Newton mit dem Volumen der Erde – der Erdradius war längst bekannt – und erhielt so einen Näherungswert für die Erdmasse. Den setzte er in die obige Formel ein und erhielt so einen Näherungswert für Γ. Einen wesentlich genaueren Wert, der in der Folge immer weiter verbessert wurde, bestimmte 1789 der britische Chemiker und Entdecker des Wasserstoffs Henry Cavendish (1731-1810) mit der von ihm erfundenen Gravitations-Drehwaage; diese wird noch heute für Schulversuche verwendet.)

Unser zweites, abschließendes Anwendungsbeispiel ist ein sogenannter geostationärer Erdsatellit. Seine Umlaufzeit beträgt 24 Stunden, so daß er ständig über einem festen Punkt auf der Erdoberfläche bleibt. Welche Höhe h über dem Erdboden hat ein solcher Satellit?

Wieder sei M die Erdmasse und R der Erdradius; dann ist in der obigen Gleichung für die Umlaufdauer T der Mondfähre, die wir auch hier verwenden können, r = R + h. Für T = 24 Stunden ergibt sich h zu rund 36000 km. (Anmerkung: wer es genau wissen will, darf nicht mit T = 24 Stunden, sondern muß mit etwas weniger rechnen. Um nämlich festzustellen, wann sich die Erde exakt einmal um sich selbst gedreht hat, muß man ihre Bewegung auf den Fixsternhimmel beziehen und für T die Länge eines Sterntages nehmen. Dieser ist knapp 4 Minuten kürzer als der Sonnentag mit 24 Stunden.)

Hans-Jürgen

  

Re: Umlaufzeit einer Mondfähre und Weiteres
von
Spock am Sa. 21. Mai 2005 14:03:28


Lieber Hans-Jürgen,

hab Dank für diesen Beitrag!

Je mehr ich von Dir lese und lerne, desto mehr frage ich mich: Wo warst Du bloß, als ich einen Physiklehrer wie Dich gebraucht hätte?

Gruß
Juergen


Re: Umlaufzeit einer Mondfähre und Weiteres
von Anonymous am Mo. 22. Mai 2006 09:45:48


Ich bedanke mich...
Hätte nicht gewusst, wie ICH als einfache HA darauf kommen sollte...


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