Wie tief taucht eine schwimmende Kugel ein?

Im folgenden soll untersucht werden, wie tief eine im Wasser schwimmende Kugel in Abhängigkeit von ihrer Dichte eintaucht bzw. wieviel von ihr dabei noch aus dem Wasser herausragt.



Sei V das Volumen der Kugel und dk ihre Dichte, dann ist G=gdkV ihr Gewicht (g=Erdbeschleunigung). Der Auftrieb, den sie durch das Wasser erfährt, ist A=gdwVu, wobei dw die Dichte von Wasser und Vu das Volumen des unteren, eingetauchten Teils der Kugel ist. Im Gleichgewicht, wenn die Kugel nach dem Einsetzen in das Wasser und einigem Auf- und Abschwingen zur Ruhe gekommen ist, sind die Gewichtskraft und der Auftrieb dem Betrag nach einander gleich: G=A oder dkV=dwVu.

Sei Vo der obere, aus dem Wasser herausragende Teil der Kugel, so gilt V=Vu+Vo, und es folgt aus dem Vorstehenden:


Vo ist das Volumen eines Kugelabschnitts mit der Höhe h:

was mit

auf

führt.

Betrachten wir von nun an nicht die absolute "Auftauchhöhe" h, sondern h im Verhältnis zum Durchmesser der Kugel: h/(2r)=a, und kürzen wir außerdem das Dichteverhältnis dk/dw mit k ab, dann folgt aus der letzten Zeile: 2a3-3a2+1-k=0.

Diese kubische Gleichung in a läßt sich nicht leicht nach a auflösen, doch können wir den Graphen von k als Funktion von a zeichnen:



k=2a3-3a2+1

Er ist allerdings nicht ganz das, was wir haben wollen. Uns interessiert vielmehr das Umgekehrte: k soll die unabhängige, a die abhängige Variable sein. Aber das ist schnell erreicht. Wir spiegeln den Graphen an der 45°-Gerade und vertauschen die Achsenbezeichnungen:



Diese Kurve besagt: Wenn die Dichte der Kugel sehr gering ist wie etwa bei Styropor, ist die Auftauchhöhe fast gleich dem gesamten Kugeldurchmesser. Die Kugel liegt auf der Wasseroberfläche, ohne merklich einzusinken. Bei einem Dichteverhältnis k=0,5, das bei Weiden- und Pappelholz vorkommt, taucht die Kugel zur Hälfte ein. Dies kann man sich ohne große Formeln, allein aus dem Archimedischen Prinzip, klarmachen. Eine Teakholzkugel (Dichte ca. 0,7 g cm-3) ragt nur noch zu etwa 35 Prozent ihres Durchmessers aus dem Wasser. Und wenn schließlich eine Kugel dieselbe Dichte wie Wasser hat, schwebt sie unter Wasser in beliebiger Höhe, ohne zu steigen oder zu sinken. Man kann sie durch vorsichtiges Anstoßen so nach oben befördern, daß sie die Wasseroberfläche von unten berührt. Dies entspricht dann dem Punkt k=1, a=0.

Zum Abschluß ein kleiner Witz in diesem Zusammenhang. Prüfung in Experimentalphysik. Professor: "Sagen Sie mal, kann eigentlich eine Eisenkugel auf Quecksilber schwimmen?" Kandidat (hat fleißig gelernt, kennt die wichtigsten Dichtewerte von Festkörpern und Flüssigkeiten, rechnet kurz, strahlt): "Ja, Herr Professor, auf Quecksilber können sogar fast zwei Eisenkugeln schwimmen!"

Hans-Jürgen
(9.9.03)

Re: Wie tief taucht eine schwimmende Kugel ein?
von Eckard am Mi. 10. September 2003 14:32:06 http://hydra.nat.uni-magdeburg.de


Hallo Hans-Jürgen,

während die Köpfe der anderen an den MPC-Aufgaben rauchen, kann ich ja mal hierauf antworten. Also, ein sehr schönes Beispiel, welches du vorstellst, das durch Anwendung physikalischer
und mathematischer Sachverhalte besticht. Ich kam bei einem ähnlich gelagerten Problem drauf: "Welche Kraft benötigt man, um eine (nichtdeformierbare) Hohlkugel unter Wasser zu drücken (in Abhängigkeit von der Eintauchtiefe)?"

Viele Grüße,
-Eckard


Re: Wie tief taucht eine schwimmende Kugel ein?
von marvinius am Do. 11. September 2003 00:53:15 http://marvinius.net


hm ... ich muß gestehen, daß diese art von herumrechnerei mich nicht gerade besticht ... da ich erwarte, der degalanterie geziehen zu werden, werde ich mich mit dem meinerseits behaupteten primat der wahrhaftigkeit erklären: ich halte es für eine grundvoraussetzung der rede über mathematische sachverhalte, daß man deren "grammatik" - d.h. plus, minus, mal und durch, matritzen- und tensorrechnung - ohne extra erwähnung beherrscht ... hm ... und da ich diese hp grundsätzlich mag, frage ich mich einfach, was die RECHnerei hier WILL ... es geht mir um das WOLLEN - ja, WAS denn eigentlich?

liebe grüße,
marvinius.


Re: Wie tief taucht eine schwimmende Kugel ein?
von Martin_Infinite am Do. 11. September 2003 06:53:52


Nicht jeder beherrscht so einfach deine angegebene
Grammatik, die muss man auch erst lernen.


Re: Wie tief taucht eine schwimmende Kugel ein?
von marvinius am Do. 11. September 2003 08:21:34 http://marvinius.net


@martin_infinite
okay - ich ziehe diesen kommentar zurück.

 


Re: Wie tief taucht eine schwimmende Kugel ein?
von Anonymous am Do. 17. November 2005 13:53:31


Tut mir ja außerordentlich leid, wenn ich als primitivgrammatisch veranlagter Nichtsnutz hier so einfach mit reinquatsche, aber mir hat diese Ausführung sehr geholfen. Mache gerade ein Fernstudium zum staatl. gepr. Info.-und Komm.Techniker und habe eine ähnlich gelagerte Aufgabe zu lösen: "graphische Ermittlung der Eintauchtiefe einer Hartholzkugel (dk=0,85kg/dm^3) von 30cm Durchmesser in Wasser (dw=1kg/dm^3). Auf die Idee, das Dichteverhältnis als unabhängige Variable zu nutzen, war ICH nämlich nicht gekommen.
Danke Hans-Jürgen !!!

Grüße
Carsten

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