Bewegt sich bei der konformen Abbildung w=1/z (z=x+iy, w=u+iv) der Originalpunkt in der z-Ebene auf einem Kreis, der nicht durch den Ursprung geht, so trifft das bekanntlich auch für den Bildpunkt in der w-Ebene zu. Man spricht deshalb in diesem Zusammenhang auch von "Kreisverwandtschaft". Gewöhnlich wird nicht untersucht (obwohl es naheliegt), wie sich der Bildpunkt verhält, wenn der Originalpunkt statt einer kreisförmigen eine andere gekrümmte Bahn beschreibt, und welche weiteren Kurvenverwandtschaften eventuell dadurch sichtbar werden.

Dies soll im folgenden anhand einiger ausgewählter Beispiele geschehen.

Als erstes bewege sich der der Originalpunkt auf der Hyperbel mit der Gleichung y=a/x, a>0. Setzt man in die für die Abbildung w=1/z gültigen Transformationsformeln (1)

a/x für y ein und eliminiert x, so ergibt sich für die Bildkurve:

a (u² + v² )² = - u v.

Dies ist die Gleichung einer Lemniskate, einer im 2. und 4. Quadranten schräg liegenden "Acht". Fig. 1 zeigt sie zusammen mit der erzeugenden Hyperbel für a=1/4:

Hyperbel und Lemniskate sind demnach über die Abbildung w=1/z ebenso miteinander verwandt wie den Ursprung meidende Kreise der z- und w-Ebene.

Auf der Suche nach einem weiteren Kurvenpaar mit dieser Eigenschaft lassen wir nun den Originalpunkt in der z-Ebene auf einer Parabel wandern, die symmetrisch zur imaginären Achse verläuft. Folgt sie der Gleichung y=ax² +b, dann ergibt dies zusammen mit (1) nach Einsetzen von y und Elimination von x:

a u² + b (u² + v² )² + (u² + v² )v = 0,

oder nach Einführung von Polarkoordinaten mit u = r cosφ, v = r sinφ:

b r² + sinφ · r + a cos² φ = 0.

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung,



wird bei Wahl des Minuszeichens und für 4ab = -1     (2)
zu

r = 2 a (sinφ + 1)

und beschreibt eine Kardioide. Dies zeigt sich beispielsweise an der Parabel mit der Gleichung y=x²/3-3/4, welche die Bedingung (2) erfüllt, vgl. Fig. 2:

Ersetzt man in der Bahngleichung des Originalpunktes das Minuszeichen durch ein Pluszeichen, so daß (2) nicht mehr erfüllt ist, dann liefert die veränderte Parabel mit y=x²/3+3/4 eine Bildkurve, die an einen Tropfen oder ein Blatt erinnert (Fig. 3):

Ihre Gleichung lautet

9(u² + v² ) + 12(u² + v² )v + 4u² = 0 ,

und sie scheint keinen besonderen Namen zu haben.

Da Kreis, Hyperbel und Parabel Kegelschnitte sind, betrachten wir abschließend aus dieser Familie als Originalkurve die Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Halbachsen a=1, b=1,25. Sie folgt der Gleichung

25x² + 16y² = 25,

während sich für die Bildkurve die Gleichung

25u² + 16v² = 25(u² + v²)

ergibt.

Aus ihr ist ersichtlich, daß sich der Bildpunkt nicht auch auf einer Ellipse bewegt, doch zeigt Fig. 4, daß die Bildkurve von der Ellipsenform nur wenig abweicht. (Zum Vergleich ist eine richtige Ellipse mit den gleichen Halbachsen eingezeichnet.)

Die ellipsenähnliche Kurve in Fig. 4 gehört zu den "spirischen Linien des Perseus". Diese entstehen beim Schnitt einer Ebene mit einem Torus. [1]

*

Weiter entfernt von der Ellipse ist die Bahn des Bildpunktes, wenn sich der Originalpunkt wie in Fig. 5 auf der als Versiera (auch "Locke") der Maria Agnesi bezeichneten Kurve [2] mit der Gleichung y=1/(1+x²) bewegt.

Die Bildkurve folgt der Gleichung

(u² + v²)³ + [(u² + v²)² + u² ]v = 0

und erinnert durch ihre nahezu geradlinigen Mittelteile an den aus Strecken und Halbkreisen zusammengesetzten Rand der Aschenbahn einer Sportanlage. Ich nenne sie deshalb "Stadionkurve".

Literatur:
[1] Kuno Fladt, Analytische Geometrie spezieller ebener Kurven, Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main 1962, S. 265 f.
[2] N. M. Günter / R. O. Kusmin, Aufgabensammlung zur höheren Mathematik, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1978, Bd. I, S. 9, Nr. 124 und S. 79, Nr. 368.