Junge Schülerin fragt Professor
Beim schriftlichen Dividieren des Zählers durch den Nenner von Brüchen entstehen Dezimalzahlen. Unter den periodischen interessiert Schüler und Erwachsene eine besonders: 0,9999..., abgekürzt 0,9. Das zeigt sich auf vielen Internetseiten.
In der Grundschule betrachtet man häufig die Bruchfolgen
1/9=0,1,
2/9=0,2,
3/9=0,3
bis
9/9=0,9,
und wegen 9/9=1 wird den Kindern gesagt, dass 0,9999... = 1 ist.
Eine Schülerin der 6. Klasse wollte das nicht einsehen, und nach vergeblicher Diskussion mit ihrer Lehrerin wandte sie sich an einen Mathematikprofessor um Rat. Hierüber wird in [1] berichtet.
Dort heißt es: Sie "argumentierte gegen die mathematische Erkenntnis '0,999 Periode ist gleich 1' ": "Das kann aber doch nicht sein", das sei "ein Unendlichstel kleiner als 1".
Weiter steht in dem Artikel: "Für die Zahlengelehrten ist ein Unendlichstel nichts anderes als Null,* 0,999 Periode somit das Gleiche wie 1."
*Symbolisch geschrieben sähe das so aus: 1/∞=0. Es ist aber falsch, denn ∞ ist keine Zahl im gewöhnlichen Sinn.
So ergibt zum Beispiel ∞ + ∞ wieder nur ∞ und nicht das Doppelte davon.
Weil ∞ keine Zahl ist, ist auch der Bruch 1/∞, in Worten: "ein Unendlichstel", nicht definiert, d. h., es gibt ihn nicht.
In höheren Klassen, spätestens an der Uni, wird an seiner Stelle der Grenzwert des Bruches 1/n verwendet, wenn n gegen Unendlich strebt. Man schreibt:
lim 1/n = 0 .
n-->∞
Auch ohne den Grenzwertbegriff lässt sich beweisen, dass 0,9999... gleich 1 ist. Weil bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit 10 das Komma um eine Stelle nach rechts rückt, folgt aus 0,9 = 0,9999... :
10*0,9 = 9,9999... und weiter
10*0,9 - 9 = 0,9999...
10*0,9 - 9 = 0,9
9*0,9 = 9
0,9 = 1.
[1] http://www.spiegel.de/schulspiegel/wissen/0,1518,549422,00.html
Nachtrag: Auch auf dem Matheplaneten wurde hier über das Thema "0,9999...=1" seitenlang eifrig diskutiert.
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