Sie veranschaulicht, dass der innere Kreis aus ebenso vielen Punkten besteht wie der äußere, weil die Punkte auf beiden Kreisen durch Pfeile umkehrbar eindeutig einander zugeordnet werden. (Gezeichnet ist nur ein kleiner Teil.)

Üblicher Weise sagt man hierbei, dass die beiden Kreise, als Punktmengen aufgefasst, die gleiche Mächtigkeit besitzen oder gleichmächtig sind. (Bei Cantor noch: "äquivalent", mehr dazu s. hier.)

In der folgenden Figur

besteht der graue Kreisring aus eng aneinander liegenden, konzentrischen Kreisen. Jeder ist gleichmächtig mit dem großen roten Kreis, denn es lassen sich auch bei ihm entsprechende Zuordnungs-Doppelpfeile eintragen wie in der ersten Figur. Somit haben die grauen Kreise alle die gleiche Mächtigkeit: die des großen roten und übrigens auch des kleinen roten Kreises.

Ist die Anzahl der grauen Kreise gleich n, dann müsste nach dieser Anschauung die Mächtigkeit der Kreisringfläche insgesamt gleich dem n-fachen der Mächtigkeit eines roten Kreises sein, und wenn n gegen Unendlich geht, wäre sie unendlichmal so groß.

Dass die Mächtigkeit einer Fläche größer ist als die einer gekrümmten oder geraden Linie, leuchtet unmittelbar ein und scheint keinen Beweis zu erfordern. Dennoch versuchte Georg Cantor einen solchen – und kam zu einem anderen Ergebnis!

Er betrachtete das Quadrat über der Strecke von 0 bis 1 auf der Zahlengeraden und verwandelte nach einem besonderen, von ihm erfundenen Verfahren die reellen Koordinatenpaare der Quadratpunkte in reelle Einzelzahlen. Diese lassen sich umkehrbar eindeutig den Zahlen auf der Einheitsstrecke zuordnen, und das bedeutet, entgegen der intuitiven Vorstellung: die Fläche des Quadrats und seine Grundseite sind von gleicher Mächtigkeit. Das Verfahren wird hier anhand einer interaktiven Grafik vorgestellt und hier ausführlich erklärt.

Von seiner Entdeckung war Cantor selbst überrascht. "Ich sehe es, aber ich glaube es nicht!" schrieb er seinem Freund und ebenso berühmten Mathematiker Richard Dedekind.

Die am Anfang der Vorseite erwähnte, ins Philosophische gehende Vorstellung eines Punktes als immer kleiner werdende Fläche spielt in der Mathematik keine Rolle. In Cantors Gleichmächtigkeitsbeweis, und nicht nur dort, sind Punkte Zahlenpaare ohne geometrische Eigenschaften. Dies zum Abschluss als Antwort auf die eingangs gestellte Frage: "Was ist ein Punkt?"

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