Aus der Abteilung Rätsel und Spiele
Ein Kollege brachte eines Tages folgende Aufgabe mit:

Onkel Dagobert, der reiche Onkel aus der Donald-Duck-Familie, hat eine große Anzahl von Goldmünzen. Wieviele es genau sind, weiß er selber nicht, irgendwo zwischen einer und zwei Millionen.

Wenn er allein für sich ist, breitet er sie auf einer großen Tischplatte aus und spielt mit ihnen herum. Dabei stellt er zu seinem Erstaunen fest, daß er sie sowohl zu einem Quadrat wie zu einem Dreieck anordnen kann, ohne daß eine Münze übrig bleibt oder fehlt. Mit nur ein paar von ihnen sähe das so aus:

O O O O O O
O O O O O O
O O O O O O
O O O O O O
O O O O O O
O O O O O O

O
O O
O O O
O O O O
O O O O O
O O O O O O
O O O O O O O
O O O O O O O O

Wieviele Münzen hat Onkel Dagobert?


MfG Hans-Jürgen



Re: Onkel Dagobert
von Ende am Mi. 09. April 2003 21:34:03


36?


Re: Onkel Dagobert
von Ende am Mi. 09. April 2003 21:34:49


Ach, Du schreibst ja, dass das nur ein paar von den Muenzen sind.


Re: Onkel Dagobert
von Martin_Infinite am Mi. 09. April 2003 22:14:37 http://www.wolkenkratzerseite.de


Anzahl der Münzen m
m muss einserseits eine Quadratzahl sein, also
http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=605178fed-Code einblenden

sqrt(m)


muss eine ganze Zahl sein.
Außerdem muss es ein natürliches n geben,
für das gilt:
http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=605179

m=sum(k,k=1,n)


...


Re: Onkel Dagobert
von Martin_Infinite am Mi. 09. April 2003 22:16:56 http://www.wolkenkratzerseite.de


Somit erhält man, dass
http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=605180

sqrt(n/2|(n+1))


eine ganze Zahl sein muss.


Re: Onkel Dagobert
von Hans-Juergen am Mi. 09. April 2003 22:43:27 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm


Ja, Martin,

das ist die richtige Idee. Vielleicht kannst Du auch Deinen Computer dazu bringen, sie auszuführen, um so zu der gefragten Anzahl selbst zu kommen. Das würde mich freuen.

Ich war übrigens auf Deiner sehr interessanten und schönen HP. Kompliment!

Viele Grüße,
Hans-Jürgen


Re: Onkel Dagobert
von DieElemente am Mi. 09. April 2003 22:52:12


Also, wenn ich mich nicht irre, beläuft sich Dagoberts vermögen auf genau 1372105 Münzen.

Volker


Re: Onkel Dagobert
von DieElemente am Mi. 09. April 2003 22:58:53


Moment, glaube ist ein Fehler drin...


Re: Onkel Dagobert
von DeepThought am Mi. 09. April 2003 23:02:13


1413721=1189²=1681*1682/2

hm. ich hätte aber lieber einen zahlentheoretischen beweis als nur mit dem computer...

übrigens sind n und n+1 teilerfremd, daher ist eine davon eine quadratzahl und eine das doppelte einer quadratzahl, damit sqrt(n*(n+1)/2)) eine ganze zahl ergibt.

interessant wäre eine explizite formel für alle zahlen, die sowohl eine quadratzahl als auch die summe aller zahlen von 1 bis n ist...


Re: Onkel Dagobert
von DieElemente am Mi. 09. April 2003 23:07:17


Ja,ist falsch das richtige Ergebnis ist 1413721.
hoffentlich *gg*

Volker


Re: Onkel Dagobert
von DieElemente am Mi. 09. April 2003 23:15:40


Hier mal weitere Lösungen für m

1
36
1225
41616
1413721
48024900
1631432881
55420693056
1882672131025
...
Volker


Re: Onkel Dagobert
von Martin_Infinite am Do. 10. April 2003 08:02:26 http://www.wolkenkratzerseite.de


Oh! Da war ich zu spät!
Mir war gerade eingefallen, dass man dazu
ein Programm schreiben könnte und ich
habe auch 1.413.721 Münzen raus.


Re: Onkel Dagobert
von Seb am Do. 10. April 2003 09:17:12


Übrigens sagt Sloans Integer Enzyklopädie zu der Folge:
Id: A001110
Rekursionsfolge: a(n) = 34a(n-1) - a(n-2) + 2.
Name: Square Triangular Numbers

Seb


Re: Onkel Dagobert
von Hans-Juergen am Do. 10. April 2003 13:32:02 http://www.hjcaspar.de/hpxp/anfang.htm


Danke, Seb, für den Hinweis. Bei Sloane findet man außer der rekursiven Form auch die von DeepThought gewünschte, explizite Darstellung der von Volker aufgelisteten Zahlen:

http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=842133

((17+12*sqrt(2))^n+(17-12*sqrt(2))^n-2)/32

MfG Hans-Jürgen



Onkel Dagobert spielt weiter mit seinen Münzen

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